傅里叶变换：傅里叶级数到FT变换，离散到连续的演变

【通信技术基础第6讲】

班长说：之前我共写了2份材料，3个视频，阐述傅里叶级数，希望对你们有帮助。不管是大学、考研、工作，这些都是通信技术基础。现在给出之前文章链接：

傅里叶级数：看似不相关的相似 三角函数转化为复指数形式

傅里叶级数：代数、积分方法求系数，解决问题思路是重点

傅里叶级数让我们知道了，原来周期性函数是可以通过正弦函数的累加完成的。我们在此之前是不是压根就没这样想过啊？所以说数学家们的世界我们不懂。

白光通过三棱镜后分解了

看一看三棱镜的色散现象，我们发现自然界这种分分合合的现象也是普遍存在的。

白色光=红+橙+黄+绿+青+蓝+紫；

到这里我们自然不经会问，周期现象很常见，那么如果非周期呢？

不同频率正弦波函数累加

傅里叶级数的变化

根据傅里叶级数的定义，周期函数f(t)可由三角函数的线性组合来表示，其中函数f(t)周期为T，角频率为w，频率为f，傅里叶级数表达式可以写成：

非周期信号可以看成周期为无穷大的周期信号。我们把非周期信号的傅里叶分析方法叫做傅里叶变换。

当周期函数的周期T逐渐趋向无穷大之时，由于ω=2π/T，周期信号的频谱是离散的，离散间隔为ω。所以当T趋向无穷大之时，ω趋向于0，离散间隔逐渐变为0，频谱变为连续谱。

周期脉冲信号的频谱

傅里叶变换就这样得到了！

非周期脉冲信号的频谱（密度）

但是由于傅里叶系数的公式中都有1/T*（…），当T趋向无穷大之时，系数也趋向0了。所以傅里叶系数也逐渐趋向无穷小，由公式可知，每个F(nω)趋向无穷小。

这样看来，各个频率幅值均为0，这样是不是感觉没什么可分析的了？

既然都为0了，我们也可以洗洗睡了。

然而数学告诉我们，无数的无穷小量加起来，未必是无穷小啊。再说了，常识告诉我们，当周期为无穷大时，频谱不可能平白无故的消失的。况且如果把这些函数看成是热量、能量，也不会因为我们换个角度看，能量就平白无故的消失。

周期T不断变大，w逐步变小，引入频谱密度

所以，数学家们说：“肯定是我们的打开方式出现问题了，我们表达的方式不对，我们得换一种方式”

既然频谱幅值都为0，那么我们就像学概率一样，我们也搞一个频谱密度，弄一个密度函数哈！

从上图中，我们可以看出，当脉冲信号的周期T不断变大的时候，频谱宽度逐步变窄。这个时候我们画出F(nw)/w的频谱密度函数。图中红色长方形，宽度为w，长度为F(nw)/w，面积为F(nw)。

图片来源网络。老外很高大上的叫做频谱分辨率的变化

说白了，T趋向无穷大时候，F(nw)趋向0，w趋向0，但F(nw)/w不一定是0哦。

按照这个思路，我们进行一番推导：

傅里叶变换的简单证明

OK，问题解决了，通过频谱密度函数，我们得到了非周期信号的频谱。

傅里叶变换

如果你很感兴趣证明过程，请自己动手，或者私信我沟通交流。这里给出傅里叶变换公式：

通常，周期信号叫做功率信号，非周期信号叫做能量信号。能量信号的频谱密度通过傅里叶变换求得； 能量信号的频谱密度和功率信号的频谱主要区别有

1. 连续谱，还是离散谱；
2. 单位是幅度/频率，还是幅度；
3. 能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有dw上才有确定的非0振幅； 功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

频谱密度

从我们发现可以用不同频率的正弦函数叠加，表达周期函数开始，非周期函数的表达方式自然而然就会是我们探索的一个方向。周期函数的频谱为间隔为w的离散谱，当周期函数的周期T变大时，自然w=2π/T就会不断的减少，最后形成连续的谱线。这是一个很自然的过程，当然啦，如果你需要严格的证明，那么需要动动脑哦。